Добрый день.
Цитата: работник заболел после увольнения
Это в Вашем случае не имеет значения.
Цитата: 2. Пособие по временной нетрудоспособности выплачивается застрахованным лицам при наступлении случаев, указанных в части 1 настоящей статьи, в период работы по трудовому договору, осуществления служебной или иной деятельности, в течение которого они подлежат обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством,а также в случаях, когда заболевание или травма наступили в течение 30 календарных дней со дня прекращения указанной работыили деятельности либо в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования.
С 17.06.2016 (дата увольнения) до 23.06.2016 (дата заболевания) не прошло 30 дней.
Цитата: 3. Застрахованному лицу, утратившему трудоспособность вследствие заболевания или травмы в течение 30 календарных дней со дня прекращения работы по трудовому договору, служебной или иной деятельности, в течение которой оно подлежало обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством,пособие по временной нетрудоспособности назначается и выплачивается страхователем по его последнему месту работы(службы, иной деятельности) либо территориальным органом страховщика в случаях, указанных в части 4 настоящей статьи.
Проверяется по трудовой книжке, что с момента увольнения не было записей о приёме на новое место работы.
P.S. А Вы уже знаете, что завтра он заболеет?